初中数学 初一升初二联赛衔接课名师讲座全14讲
第1讲：三角形全等辅助线（一）
第2讲：三角形全等辅助线（二）
第3讲：四边形之平行四边形、矩形
第4讲：四边形之菱形、正方形
第5讲：四边形之梯形
第6讲：四边形考点汇总及辅助线添加
第7讲：一次函数、反比例函数串讲（一）
第8讲：一次函数、反比例函数串讲（二）
第9讲：因式分解及乘法公式（一）
第10讲：因式分解及乘法公式（二）
第11讲：分式化简及恒等边形
第12讲：不定方程（一）
第13讲：不定方程（二）
第14讲：数论串讲
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初中数学初一升初二联赛衔接课全14讲总结
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初中数学初一升初二联赛衔接课全 14 讲总结
本课程初一升初二联赛衔接课名师讲座共 14 讲，涵盖三角形、四边形、函数、代数及数论等多方面内容，旨在帮助学生在初一到初二的数学学习中实现平稳过渡，并提升数学竞赛相关能力。
三角形全等辅助线
第 1、2 讲聚焦三角形全等辅助线。全等三角形在初中数学几何证明中占据核心地位，而添加合适辅助线是解决相关问题的关键。
在角平分线相关问题中，可通过截取构全等，在角平分线上取一点，在角的两边截取相等线段，构造全等三角形；也可让角分线上点向角两边作垂线构全等，利用角平分线性质，即角平分线上点到角两边距离相等来解题；还能作角平分线的垂线构造等腰三角形，延长角平分线的垂线与角两边相交，通过等腰三角形性质求解；另外，作平行线构造等腰三角形也是常用技巧，过角一边上一点作角平分线平行线，与另一边相交，形成等腰三角形。
当遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般采用截长补短法。截长即在长线段上截取一段等于其中一条短线段，再证剩下部分等于另一条短线段；补短则是将一条短线段延长，使其与另一条短线段相加等于长线段，再证延长后的线段与长线段相等。对于证明有关线段和差的不等式，需利用三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边这一性质，想办法将相关线段放在一个三角形中证明。若在利用三角形外角大于任何和它不相邻的内角时直接证不出来，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角处于三角形外角位置，小角处于内角位置，再运用外角定理。
由中点可联想到多种辅助线。中线能把原三角形分成两个面积相等的小三角形，在涉及三角形面积问题时常用；倍长中线也是重要方法，将中线延长一倍，构造全等三角形，可解决与中线相关的线段关系问题。
其他辅助线做法还有延长已知边构造三角形，以创造更多条件；连接四边形的对角线，将四边形问题转化为三角形问题；连接已知点构造全等三角形；取线段中点构造全等三角形等。
四边形
第 3 – 6 讲围绕四边形展开。
平行四边形与矩形
平行四边形性质丰富，为解决问题常需添加辅助线构造平行四边形。可利用一组对边平行且相等构造，已知一组对边平行，通过添加辅助线使另一组对边也相等；或利用两组对边平行构造；还可利用对角线互相平分构造平行四边形。
矩形计算型题，常通过作辅助线构造直角三角形，借助勾股定理求解；证明或探索题，一般连结矩形对角线，利用对角线相等这一性质。
菱形与正方形
菱形辅助线作法主要是连接对角线，借助菱形判定定理或性质定理解题，还可作菱形的高。正方形问题常作对角线，因其既是轴对称图形又是中心对称图形，对角线性质能帮助解决诸多问题。
梯形
梯形辅助线作法多样。作一腰的平行线可构造平行四边形和特殊三角形；作梯形的高，能构造矩形和直角三角形；作一对角线的平行线，可构造直角三角形和平行四边形；延长两腰构成三角形；作两腰的平行线等。第 6 讲还对四边形考点进行汇总，梳理了各类四边形性质、判定等考点，并总结辅助线添加方法，让学生对四边形知识有更系统认识。
函数
第 7、8 讲是一次函数、反比例函数串讲。
一次函数关键知识点包括 k、b 的含义、符号判定、与坐标轴交点、增减性与 k 的关系、直线平行垂直相交重合公式、平移口诀及对称规律，还有与不等式的关系。k 决定直线倾斜方向与陡峭程度，b 是直线与 y 轴交点纵坐标。
反比例函数需掌握定义、三种表达形式、图像与画法、图像性质（增减性）、k 的几何意义。其图像是双曲线，k＞0 时，在每一象限内 y 随 x 增大而减小；k＜0 时，在每一象限内 y 随 x 增大而增大，k 的几何意义在解题中应用广泛。课程从图像判断、图像有公共点问题、综合应用等方面讲解二者综合，如已知一次函数与反比例函数表达式，求交点坐标，需联立方程求解。
代数
第 9、10 讲讲解因式分解及乘法公式。因式分解方法有提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式等）、十字相乘法等。乘法公式如 (a + b)(a – b) = a² – b²，(a ± b)² = a² ± 2ab + b² 等在化简、求值中常用。通过大量例题，学生能熟练掌握因式分解及乘法公式运用技巧。
第 11 讲分式化简及恒等变形，需依据分式基本性质，对分子分母进行约分、通分等操作，将分式化为最简形式或进行恒等变形以解决相关问题。
第 12、13 讲不定方程，介绍不定方程定义及常见解法，如根据数的整除性、奇偶性等性质求解，帮助学生拓展代数思维。
数论
第 14 讲数论串讲，对数论相关知识进行综合梳理，包括整数性质、整除、余数等内容，提升学生对整数相关问题的分析和解决能力，为竞赛中数论部分打下基础。
本课程全面系统，各讲紧密联系，从几何到代数再到数论，逐步提升学生数学思维和解题能力，为初二数学学习及数学竞赛提供有力支持 。
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本课程为初中数学初一升初二联赛衔接课，由名师进行讲座，共 14 讲，覆盖了初中数学众多重要知识点，旨在助力学生顺利完成初一到初二的过渡，并提升数学竞赛能力。
第 1、2 讲聚焦于三角形全等辅助线。全等三角形是几何证明的关键，而辅助线的添加是解题的重要手段。在角平分线相关问题中，有多种辅助线添加方式。比如截取构全等，在角平分线上取点并在角两边截取等长线段；角分线上点向角两边作垂线构全等，利用角平分线性质；作角平分线的垂线构造等腰三角形；作平行线构造等腰三角形等。对于线段和差问题，截长补短法是常用策略，截长是在长线段截取一段等于短线段，补短则是延长短线段使其和等于长线段。证明线段和差不等式时，要利用三角形三边关系，将线段置于同一三角形中。遇到三角形外角相关证明难题，可通过连接或延长边构造三角形。由中点可联想到中线分三角形面积相等，以及倍长中线构造全等三角形。此外，还有延长已知边、连接四边形对角线、连接已知点、取线段中点等辅助线做法。
第 3 至 6 讲围绕四边形展开。平行四边形性质多，常通过一组对边平行且相等、两组对边平行、对角线互相平分等方式构造平行四边形。矩形计算型题可构造直角三角形用勾股定理求解，证明或探索题常连对角线利用其相等性质。菱形常连接对角线，借助判定和性质定理解题，也可作高；正方形常作对角线，利用其特殊性质。梯形辅助线多样，如作一腰平行线构造平行四边形和特殊三角形、作高构造矩形和直角三角形、作对角线平行线构造直角三角形和平行四边形、延长两腰构成三角形、作两腰平行线等。第 6 讲还对四边形考点进行汇总，梳理性质、判定等考点并总结辅助线添加方法。
第 7、8 讲是一次函数、反比例函数串讲。一次函数关键知识点包括 k、b 的含义、符号判定、与坐标轴交点、增减性与 k 的关系、直线平行垂直相交重合公式、平移口诀及对称规律，还有与不等式的关系。反比例函数需掌握定义、表达形式、图像与画法、性质（增减性）、k 的几何意义。课程还讲解了二者综合应用，如联立方程求交点坐标。
第 9、10 讲讲解因式分解及乘法公式。因式分解方法有提公因式法、公式法、十字相乘法等，乘法公式如平方差公式、完全平方公式等在化简求值中常用。第 11 讲分式化简及恒等变形，依据分式基本性质进行约分、通分等操作。第 12、13 讲不定方程，介绍定义及常见解法，如利用数的整除性、奇偶性求解，拓展代数思维。
第 14 讲数论串讲，综合梳理数论知识，包括整数性质、整除、余数等内容，提升学生对整数问题的分析解决能力，为竞赛数论部分奠基。
总体而言，本课程内容全面且系统，各讲之间紧密关联，从几何到代数再到数论，逐步提升学生数学思维和解题能力，为初二数学学习和数学竞赛提供了坚实的支持，有助于学生更好地掌握数学知识，提升数学素养，在数学学习中取得更好的成绩。
